В театре на премьере спектакля на 100 мест продано билетов на общую сумму 1000 рублей. Билеты для мужчин стоят 50 р, для женщин - 20 р, для детей по 1 рублю. Сколько мужчин, женщин и детей было на премьере спектакля?

Можно и попроще рассуждать. m+g+d=100
50m+20g+d=1000,отсюд�а:
49m+19g=900 или
30m+19+19g=900
19(m+g)=10(90-3m)...(1)
Отсюда видно, что (m+g) делится на 10,а (90-3m) делится на 19.
Тогда:
90-3m=19,или 38,или 57,
илм 76.Везде смотрим при подборе на равенство (1)
1)90-3m=19
m=27,для g решения нет.
2)90-3m=38
3m=52--не подходит, 52 не делится на 3.
3)90-3m=57
m=11,g=19,d=70
11+19+70=100
11*50+20*19+70=1000
Это ответ.
Но проверим еще последний вариант
4)90-3m=76
3m=14- но 14 на 3 не делится.
Ответ:Дяденек (мужчин) было 11,
Тетенек(женщин)-19
Детей-70.
                                                                              

Количество детей принимаю за "д". Количество мужчин принимаю за "м". Количество женщин принимаю за "ж"
Составлю уравнения:
д + м + ж = 100.
д + 50м + 20ж = 1000.
Попробую вычесть из 2-го 1-е уравнение:
д - д + 59м + 19ж = 900.
49м + 19ж = 900
900/49 = ~ 18м.
100 - 18 = 72.
д + ж = 72.
Предположу, что 1 женщина. Детей останется 72 - 20 = 52. Мало.
Вероятно женщин должно быть в 50/20 = 2,5 раза больше мужчин, а детей в 5 раз больше.
Я поменяю значения: женщин будет 18. Это будет 20*18 = 360 руб.
1000 - 360 = 640.
Детей и мужчин 82 (д+м).
Возьму среднее от 600. Не пойдёт. слишком мало детей. При 550 детей будет много.
Увеличу женщин на 1, тогда их будет 19. Они заплатили 20*19 = 380 руб.
1000 - 380 = 620.
Детей и мужчин 100 - 19 = 81 (д+м).
550/50 = 11 м.
620 - 550 = 70 д.
Проверка:   
70д + 19ж + 11м = 100 мест.
70 + 19*20 + 11*50 = 1000 руб.
Мой ответ: 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей было на премьере спектакля.

Условие можно записать в виде системы уравнений:
50m + 20w + c = 1000, (1)m + w + c = 100, (2)m, w, c -- натуральные числа.Из уравнения (2), c=100-m-w. Подстановка этого выражения в (1) даёт
50m+20w+100-m-w = 1000 =>
=> 49m+19w = 900.
Т.к. 49=7*7, то НОД(49, 19)=1. Теория диофантовых уравнений говорит, что в этом случае такое линейное уравнение имеет целочисленные решения. Точнее говоря, согласно соотношению Безу, существуют целые числа s, t, такие, что 49s+19t = НОД(49, 19) = 1.
Для вычисления s и t можно использовать расширенный алгоритм Евклида (вместо этого, можно кратко найти решения через функцию Эйлера, но фигурирующие в том способе числа, вроде 49^{18} могут некоторых испугать). Его применение порождает следующие последовательности r_i, s_i, t_i до обнуления очередного элемента r_i:
r_0=49, r_1=19
s_0=1, s_1=0
t_0=0, t_1=1
q_1=floor(r_0/r_1)=f�loor(49/19)=2
r_2=r_0-q_1r_1=49-2*19=11
s_2=s_0-q_1s_1=1-2*0=1
t_2=t_0-q_1t_1=0-2*1=-2
q_2=floor(19/11)=1
r_3=r_1-q_2r_2 = 19-1*11 = 8
s_3=s_1-q_2s_2 = 0-1*1=-1
t_3=t_1-q_2t_2 = 1+1*2=3
q_3=floor(11/8)=1
r_4=r_2-q_3r_3=11-8=3
s_4=s_2-q_3s_3=1+1=2
t_4=t_2-q_3t_3=-2-3=-5
q_4=floor(8/3)=2
r_5=r_3-q_4r_4=8-2*3=2
s_5=s_3-q_4s_4=-1-2*2=-5
t_5=t_3-q_4t_4=3+2*5=13
q_5=floor(3/2)=1
r_6=r_4-q_5r_5=3-2=1
s_6=s_4-q_5s_5=2+5=7
t_6=t_4-q_5t_5=-5-13=-18
q_6=floor(2/1)=2
r_7=r_5-q_6r_6=2-2*1=0
s_7=s_5-q_6s_6=-5-2*7=-19
t_7=t_5-q_6t_6=13+2*18=49.
(Через floor(...) обозначено округление вниз.)
Всё, r_7=0, а значит s=s_6=7, t=t_6=-18. Действительно, 49*7-19*18 = 1.
Но нам нужно, чтобы справа было не 1, а 900. Частное решение (m', w') уравнения 49m+19w=900 получается просто умножением решения (s, t) на 900:
m' = 900s = 6300,
w' = 900t = -16200.
Проверяем: 49*6300-19*16200=900.
Вот только значения 6300 и -16200 мало подходят для количества людей на спектакле. Благо, из целочисленного решения (m', w') диофантова уравнения 49m+11w = 900 можно получить все его другие решения вычитая от m' число 19x, а к w' прибавляя число 49x для всех целых x. Нам нужно, что 11w'+49x было натуральным, т.е  11w'+49x >= 0. Это неравенство леко решается:
11w'+49x >=0 =>
=> 49x >= -11w' =>
=> x >= ceil(-11w'/49) =>
=> x >= ceil(16200/49) =>
=> x >= 331,
где ceil(...) -- округление вверх.
Итак,
m = m'-19*min(x) = 6300-19*331 = 11,
w = w'+49*min(x) = -16200+49*331 = 19.
Также легко видеть, что m'-19*332=-8<0, т.е. следующее целочисленное решение даст неприемлемое значение m<0. Значит, решение (m=11, w=19) -- единственное.
Окончательно, из (2) получается, что c=100-11-19=70. Значит, на спектакле было 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей.
P.S. В формулировке условия есть маленькая недосказанность о фактической заполненности зала. Я решал из предположения, что заняты были все места (m+w+c=100), но не исключаю, что кто-то мог понять условие и как m+w+c<=100.

Как мне кажется, такого рода задачи проще всего решать методом подгонки с помощью 'математического шаманства'.
По стоимости билетов (почему женские билеты дешевле мужских? провокация для феминисток) на одного мужчину 'приходится' 2.5 женщины и 50 детей, отсюда интуитивно ясно, что мужчинами было занято меньше всего мест, а детьми - больше всего.
Поскольку:
1000р / (50р + 20р + 1р) = 1000р / 71р = 14.08,
то для начала возьмём базовым числом 10 троек (мужчина, женщина и ребёнок).
Они занимают 30 мест и суммарная стоимость их билетов 710 рублей.
У нас остаётся 70 мест и 290 рублей.
Таким образом, базовая задача сведена к новой задаче.
В принципе, эта новая задача (в отличии от базовой) не исключает того, что какое-то количество (скорее всего, мужчин) в этом раскладе может иметь значение  - нуль. Поэтому, добавлять зрителей нужно аккуратно, всего по тройке.
31) Добавляем первую тройку.
Свободных мест остаётся 67, а денег на билеты 219 рублей.     
32) Добавляем вторую тройку.
Свободных мест остаётся 64, а денег на билеты 148 рублей.     
33) Добавляем третью тройку.
Свободных мест остаётся 61, а денег на билеты 77 рублей.
Как видно, это тупик.
Нужно вернуться на 32) и далее добавлять лишь по паре (женщина и ребёнок).
32) Добавляем вторую тройку.
Свободных мест остаётся 64, а денег на билеты 148 рублей.     
21) Добавляем первую пару.
Свободных мест остаётся 62, а денег на билеты 127 рублей.     
22) Добавляем вторую пару.
Свободных мест остаётся 60, а денег на билеты 106 рублей.
23) Добавляем третью пару.
Свободных мест остаётся 58, а денег на билеты 85 рублей.
24) Добавляем четвёртую пару.
Свободных мест остаётся 56, а денег на билеты 64 рубля.
Как видно, и это тупик. Нужно вернуться на 31) и опять таки добавлять только по паре.
31) Добавляем первую тройку.
Свободных мест остаётся 67, а денег на билеты 219 рублей.     
21) Добавляем первую пару.
Свободных мест остаётся 65, а денег на билеты 196 рублей.     
22) Добавляем вторую пару.
Свободных мест остаётся 63, а денег на билеты 177 рублей.     
23) Добавляем третью пару.
Свободных мест остаётся 61, а денег на билеты 156 рублей.     
24) Добавляем четвёртую пару.
Свободных мест остаётся 59, а денег на билеты 135 рублей.     
25) Добавляем пятую пару.
Свободных мест остаётся 57, а денег на билеты 114 рублей.     
26) Добавляем шестую пару.
Свободных мест остаётся 55, а денег на билеты 93 рубля.     
26) Добавляем седьмую пару.
Свободных мест остаётся 53, а денег на билеты 72 рубля.     
26) Добавляем восьмую пару.
Свободных мест остаётся 51, а денег на билеты 51 рубль.
Бинго. Остальные билеты - детям.
Что в итоге?
10, 10, 10,
11, 11, 11,
11, 19, 19,
11, 19, 70,
Проверка:
11 + 19 + 70 = 100,
(11 * 50) + (19 * 20) + 70 = 1000,
Ответ: 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей 

Воспользуюсь обозначениями введенными Circiter, но решать будем на основе знаний доступных обычному школьнику. Основанных на анализе и на разумном переборе.
Получаем 2 уравнения:
50m + 20w + c = 1000, (1)
m + w + c = 100, (2)
m, w, c -- натуральные числа. (m - количество мужчин, w - количество женщин, c - количество детей)
Из уравнения (1) видим, что 3 слагаемых делятся на 10, значит "c" тоже делится на 10
Таким образом представим с = 10k, где k ∈ N.
и 1 уравнение преобразуется 5m + 2w + k = 100
а 2 уравнение преобразуется m + w + 10k = 100
Причем k<10, m<20, w<50
А теперь вычтем из 1-го уравнения второе, получим
4m + w = 9k (1)
m + w + 10k = 100 (2)
Выразим w во (2) и подставим в (1)
w = 100 - 10k - m
3m + (100 - 10k) = 9k ("3m" и "9k" делятся на 3, значит "100-10k = 10•(10-k)" делится на 3), то есть 10-k = {3;6;9}, Откуда k = {7;4;1}
Подставляем поочередно и решаем систему:
k=7
w = 30 - m
3m = 33
c = 10•7
Получаем: w = 19; m = 11; c = 70
Для k=4 система решений не имеет
так как
получим
3m = -15, m<0
Аналогично для k=1 система решения не имеет
3m = -81, m<0
Ответ: мужчин 11, женщин 19, детей 70