Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что M — середина основания AD.

Из точки М проведём два отрезка в вершины трапеции: МВ и МС.
По условиям задачи, треугольник ВМС - равнобедренный(точка М равноудалена от концов основания ВС) и равны углы МВС и МСВ.
По свойствам равнобедренной трапеции, в ней равны пары углов- острые и тупые.
Значит угол АВС равен углу DCB.
Следовательно, будут равны углы АВМ и МСD.
Получаем, что у двух треугольников АВМ и МСD равны углы АВМ и МСD и стороны АВ=СD, BM=CD.
По правилам треугольников, указанные два треугольника равны. Следовательно, сторона АМ=МD.
Следовательно, точка М расположена на середине нижнего основания АD равнобедренной трапеции.
Что и требовалось доказать.