Какой частью речи является слово "пожалу"?
Примеры предложений.

Довольно большая часть  слов русского языка в зависимости от речевой ситуации может не только иметь различное лексическое значение, но и принадлежать к разным частям речи.
Это относится и к "пожалуй".
Изначально перед нами глагол "пожаловать" (что сделать?) в форме повелительного наклонения, причём в двух значениях, напр.,  За хорошую службу пожалуй (т.е. награди, устаревшее) его  новым титулом/Ну, что, Петров, пожалуй (т.е. иди, здесь - ирончески) к доске.
В другом контексте слово может быть частицей с утвердительным значением, напр., Яблочка отведаешь? Пожалуй.
                                                                              

Слово "пожалуй" какая часть речи, можно выяснить по его грамматическим признакам только в определенной речевой ситуации.
В предложении к слову "пожалуй" можно задать вопрос что сделай?
Пожалуй ко мне вечерком, чтобы посмотреть мое новое приобретение.
Слово "пожалуй" - это самостоятельная часть речи глагол "пожаловать" в форме 2 лица единственного числа повелительного наклонения.
А вот иной контекст:
Пожалуй, он не согласится со мной.
Здесь это слово выражает неуверенность и не является членом предложения. Это вводное слово, которое выделим запятой.
Слово "пожалуй" - это служебная часть речи частица, которая употребляется в значении "да".
У тебя будет время показать мне, как правильно наложить повязку? - Пожалуй.

Слово "пожалуй" можно смело отнести к многозначным словам.
От глалогола "пожаловать" (неопределенная форма) образуется глагол повелительногого наклонения, 2 лица, единственного числа. Вопрос к глоголу - что сделай?
Например, в предложении.
Пожалуй к нашему столу. Ты пожалуй ему  свой меховой тулуп.Также "пожалуй" может являться вводным словом, требующим выделения запятыми.
Пример предложения:
Я, пожалуй, приду немного попозже.Пожалуй, отец оказался прав. Слово может также являться частицей, служебной частью речи, вносящей эмоциональный оттенок (со значением согласия).
Например: 
Ты сможешь мне помочь? - Пожалуй.