Зачислен был в нашу школу во второй четверти с не?ликвидированной задолженностью по предмету за 8 класс.

Правописание не со словами часто вызывает затруднения.
Сначала применим простое правило, подходящее для слов всех частей речи. Без не данное слово употребляется в настоящее время, значит, возможно как слитное, так и раздельное его написание с не.
Но перед нами один из немногочисленных случаев, когда автор спрашивает о раздельном/слитном написании слова в конкретном предложении.
В данном примере этому слову ничего не противопоставляется и зависимых/уточняющих�/поясняющих слов при нем нет. Поэтому правильный вариант только один: не- в этом случае является приставкой, пишется с -ликвидированной в одно слово.