Как это решить Почему, по какому правилу, нужно писать "напишешь", а не "напишишь"?.

Не совсем согласна с комментарием, написанным ранее. Может это и хитрость, но не правило. Правило же, безличное окончание глаголов. Довольно сложная тема, но если вникнуть и понять...
Ну, чтож, "напишешь", это и вправду глагол, и чтобы определить какую букву писать в безличном окончании глагола, нужно поставить глагол в неопределенную форму.
Напишешь—написать.
Окончание -ать.
Вспомним спряжения глаголов. Это можно легко сделать по считалочке
Ко второму спряжению относятся "все глаголы, что на -ить, исключая брить, стелить, а ещё смотреть, обидеть, слышать, видить, ненавидеть, гнать, дышать, держать, терпеть, и зависеть и вертеть."
Все остальные к первому.
НаписАТЬ, как видите, окончание, на ать, а значит это первое спряжение. Далее...
1,2лицо           3лицо
1спяж. -е.         -у, -ю
2спяж -и.          -а, -я
У нас 2лицо, 1спряжение. Значит: НапишЕшь.
P.S.Не стоит забывать про разноспрягаемые глаголы:
Бежать, хотеть, есть, дать(создать).
                                                                              

Русский язык считается одним из сложных языков. И выучить его досконально очень трудно.
Давайте попробуем разобраться.
Писать, пишет, напишет - это глагол. Глагол отвечает на вопросы: Что делать? Что делает? Что будет делать?
Запомнив эти вопросы, мы можем узнать глагол среди других частей речи.
У глагола есть одна маленькая хитрость. Что бы узнать какое окончание у глагола, нужно задать к слову вопрос. Какое окончание у вопроса - такое будет и у нашего слова.
"Напишешь".Задаём вопрос: Что сделаешь? В вопросе окончание "ешь". Значит и у нашего слова такое же.