Как правильно: подмигевать или подмигивать?
Как объяснить правописание?
ПодмигИвать или подмигЕвать?

Здесь действует правило:"Если глагол от 1-го, лица единственного числа, настоящего  времени заканчивается на безударное "-иваю","-ываю",тогда в глаголе прошедшего и будущего времени, так же в суффиксе пишем "-ива","-ыва".
Изменяем время для данного глагола:
"Я что делаю?"(наст.вр.)-подмигИВАЮ;
"Я что буду делать?"-(буд.вр.) подмигИВАть
"Я что делал?"(прош.вр.)-подмигИВАл
Есть алгоритм для определения безударных гласных в корнях "-тир","-тер".
"ПротИрАл, но стеЕреть";
Здесь "работает" суффикс "-а" ,если после корня он есть, в корне пишем "-и",если его нет, то пишем "-е".
Я,когда-то давно заметила сходство этих двух правил: то есть если в суффиксе "-ива" есть "-а", значит буду писать "-и".