Как правильно пишется: "удалиться" или "удалится"?
С мягким знаком или без него?
Какие правила написания?
Примеры предложений.

Ответить на этот вопрос однозначно невозможно, так как это будет зависеть от контекста, в котором будет это слово.
Возможны оба варианта написания.
Нужно поставить вопрос: "что сделает?" или "что сделать?"
Если нужное нам слово по смыслу предложения отвечает на вопрос "Что сделать?", тогда следует писать с мягким знаком, например:
Если моему другу не понравится в той группе, куда я его пригласил, он спокойно может из нее удалиться. (Что сделать?)
Если же по смыслу нужно поставить вопрос "Что сделает?", то слово удалится пишется без мягкого знака.
Пример предложения:
Если моему новому знакомому  не понравится наша компания и он по-тихому удалится с вечеринки, я на него не обижусь. (Что сделает?)

Слоо "удалит(ь?)ся" - это глагол, возвратной формы, на что указывает постфикс "-ся". Остальные грамматические формы глагола зависят от контекста предложения, от того вопроса, который можно задать глаголу.
Вопрос - что сделать? - однозначно указывает на неопределенную форму глагола, и на мягкий знак, который ставится перед постфиксом "-ся"- "удалиться".
Пример предложения с глаголом неопределенной формы "удалиться":
Для безопасности вы должны (что сделать?) удалиться на расстояние не менее трёмх метров. Вопрос к глаголу - что сделает? - указывает на личную форму глагола: третье лицо, единственное число, будущее время. В вопрсе нет мягкого знака. Его мы тоже не пишем в этом глаголе - что сделает? - "удалится".
Пример предложения с глаголом личной формы "удалится":
Мы начнем доклад, когда посторонний (что сделает?) удалится из помещения.

Что сделать? Удалиться
Или Что сделает? Удалится
Пример: Попрошу вас удалиться.
Ваш вопрос удалится.